Przeczytaj informację w poniżej, a następnie rozwiąż zadanie.
Punkt w trójkącie, dla którego suma jego odległości od wierzchołków trójkąta jest najmniejsza, nosi nazwę punktu Fermata (punktu Torricellego). Można wykazać, że:
- jeśli któryś z kątów trójkąta ma miarę 120◦ lub większą, to punktem Fermata jest wierzchołek tego kąta;
- jeśli wszystkie kąty trójkąta mają miary mniejsze od 120◦, to punkt Fermata leży wewnątrz trójkąta i każdy z boków trójkąta widać z tego punktu pod kątem 120◦.
Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny ABC o przeciwprostokątnej długości 2. Niech punkt P będzie takim punktem tego trójkąta, że suma jego odległości od wierzchołków trójkąta jest najmniejsza. Wykaż, że suma ta jest równa 1 + √3.
Niech P ∈ AD będzie położony tak, że ∠BPC = 120◦.
Wówczas ∠BPA = 120◦ oraz ∠CPA = 120◦.
Rozpatrzmy punkt P1 leżący wewnątrz trójkąta ABP:
∠ABP1 < ∠ABP oraz ∠BAP1 < ∠BAP, więc ∠BP1A > 120◦.
Analogicznie dla punktu P2.
Trójkąty BPD i CPD są przystające i mają miary 30◦, 60◦, 90◦.
ctg 60◦ = |PD|/1 = √3 /3, więc |PD| = √3 /3
|BP| = |CP| = ( 2√3) /3
|AP| = 1 − |P D| = 1 − √3/3
Zatem |AP| + |BP| + |CP| = 1 − √3/3 + (2√3)/3 + (2√3)/3 =1+ √3, co należało wykazać.