Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg. Z punktu P przecięcia przekątnych tego czworokąta poprowadzono wysokości PK, PL, PM, PN odpowiednio w trójkątach ABP, BCP, CDP oraz DAP. Udowodnij, że w czworokąt KLMN można wpisać okrąg.
Strona główna/
Pytania /Q 2837
W trakcie
1. Na czworokącie AKPN można opisać okrąg (przeciwległe kąty K i N są proste), zatem ∢KAP = ∢KNP = α (kąty wpisane oparte na tym samym łuku).
2. Podobnie na czworokącie DNPM można opisać okrąg, zatem ∢PNM = ∢PDM = β.
3.∢BAC = ∢BDC jako kąty wpisane oparte na tym samym łuku.
4. ∢BAC = α i ∢BDC = β, więc α = β. Oznacza to, że w czworokącie KLMN punkt P należy do dwusiecznej kąta N.
5. Analogicznie wykazujemy, że punkt P należy do dwusiecznych pozostałych kątów czworokąta KLMN. Zatem wszystkie dwusieczne przecinają się w punkcie P, który jest środkiem okręgu wpisanego w czworokąt KLMN.