Wysokość CD dzieli bok AB trójkąta ABC na dwa odcinki o długościach 36 cm i 14 cm. Prostopadle do boku AB poprowadzono prostą, która dzieli trójkąt na dwie części o równych polach. Jakie są długości odcinków, na które ta prosta dzieli bok AB trójkąta?
Strona główna/
Pytania /Q 2927
W trakcie
Dane: |AD| = 36 cm, |DB| = 14 cm, EF ⟂ AB, CD ⟂ AB,
P△AEF = PBCEF
Szukane: |AF|, |FB|
Oznaczamy: h = |CD|, h > 0;
|AB| = 50 cm
Pole trójkąta ABC jest równe 1/2|AB| ⋅ |CD| = 25h.
Zatem pole trójkąta AEF = 1/2 ⋅ 25h = 12,5h oraz pole trójkąta AEF = 1/2 |AF| ⋅ |EF|,
więc |AF| ⋅ |EF| = 25h. Z twierdzenia Talesa (z podobieństwa trójkątów AEF i ACD):
|AF|/|AD| =|EF|/|CD| ⇔|AF|/36 =|EF|/h ⇔ |EF| = [|AF| ⋅ h]/36 (*)
Podstawiając |EF| z (*) do równości |AF| ⋅ |EF| = 25h, otrzymujemy:
|AF| ⋅ [|AF|h/36] = 25h, więc |AF|² = 36 ⋅ 25, stąd |AF| = 6 ⋅ 5 = 30,
|FB| = |AB| − |AF| = 20