Udowodnij, że suma miar kątów n-kąta wypukłego jest równa (n − 2) ⋅ 180°.
Strona główna/
Pytania /Q 2919
W trakcie
Ask Edualy – Zadania i odpowiedzi
Dobrze Cię widzieć! 😃 Załóż konto i dołącz do naszej edukacyjnej społeczności. Zadawaj pytania, szukaj odpowiedzi lub udzielaj pomocy innym. Razem wspierajmy się w nauce.
Dobrze, że jesteś ponownie! 😃 Zaloguj się do naszej edukacyjnej społeczności. Zadawaj pytania, szukaj odpowiedzi lub udzielaj pomocy innym. Razem wspierajmy się w nauce.
Zapomniałeś hasła? Podaj swój adres e-mail. Otrzymasz link do resetowania hasła, dzięki czemu utworzysz nowe.
Proszę krótko wyjaśnić, dlaczego uważasz, że to pytanie powinn być zgłoszone.
Proszę krótko wyjaśnić, dlaczego uważasz, że ta odpowiedź powinna być zgłoszona.
Udowodnij, że suma miar kątów n-kąta wypukłego jest równa (n − 2) ⋅ 180°.
Założenie: wielokąt A1A2A3…An jest wypukły.
Teza: α1 + α2 + α3 + … + αn = (n − 2) ⋅ 180°
Dowód:
I sposób
Dzielimy n-kąt wypukły na (n − 2) trójkątów rozłącznych, prowadząc wszystkie przekątne z wierzchołka A1 (lub jakiegokolwiek innego), czyli prowadząc przekątne A1A3, A1A4, A1A5, . . ., A1An−1. Wówczas suma miar kątów tych (n − 2) trójkątów jest równa sumie
α1 + α2 + α3 + … + αn, czyli (n − 2) ⋅ 180° = α1 + α2 + α3 + … + αn.
II sposób
Niech P będzie punktem wewnętrznym wielokąta. Punkty A1A2A3…An (wierzchołki n-kąta wypukłego) łączymy z punktem P, dzieląc wielokąt A1A2A3…An na n trójkątów: A1A2P, A2A3P, A3A4P, . . ., AnA1P. Suma miar kątów wewnętrznych tych trójkątów jest równa sumie miar kątów n-kąta A1A2A3…An zwiększonej o kąt pełny wierzchołka P.
Zatem n ⋅ 180° = α1 + α2 + α3 + … + αn + 360°,
stąd α1 + α2 + α3 + … + αn = n ⋅ 180° − 360° = (n − 2) ⋅ 180°.